Question

甲、乙两地相距S（千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c（千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b；固定部分为a元．

(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.

(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？

Answer 1

(1) y＝s(＋bv)v∈(0,c)， (2) 若≤c即v＝时，全程运输成本最小．

若>c， v＝c时全程运输成本最小．

解析:

(1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为,全程运输成本为y＝a·＋bv²·＝s(＋bv)，故所求函数及其定义域为y＝s(＋bv)v∈(0,c)

(2) ∵s、a、b、v∈R⁺，故s(＋bv)≥2s 当且仅当＝bv时取等号，此时v＝

若≤c即v＝时，全程运输成本最小．

若>c，则当v∈(0，c)时，

y＝s(＋bv)－s(＋bc)＝(c－v)(a－bcv)

∵c－v≥0，且a>bc，故有a－bcv≥a－bc²>0

∴ s(＋bv)≥s(＋bc)，且仅当v＝c时取等号，即v＝c时全程运输成本最小．