Question

f（x）是定义在R上的增函数，则下列结论一定正确的是（　　）

A．f（x）+f（-x）是偶函数且是增函数

B．f（x）+f（-x）是偶函数且是减函数

C．f（x）-f（-x）是奇函数且是增函数

D．f（x）-f（-x）是奇函数且是减函数[

Answer 1

分析：设F（x）=f（x）-f（-x），先根据符合函数的单调性判断函数F（x）的单调性，再直接用-x代入计算，比较F（x）与F（-x），根据奇偶性的定义作出是奇函数判断即可，从而选出正确选项．

解答：解：设F（x）=f（x）-f（-x），
∵f（x）是定义在R的增函数
∴f（-x）是定义在R的减函数，从而-f（-x）是定义在R的增函数，
∴F（x）=（x）-f（-x）在（-∞，+∞）的增函数，
∵F（x）=f（x）-f（-x）
∴F（-x）=f（-x）-f（x）
则F（x）=-F（-x）
∴函数F（x）为奇函数，且在（-∞，+∞）的增函数
故选C．

点评：本题主要考查函数奇偶性的定义以及函数单调性的判断与证明，同时考查分析问题的能力，属于中档题．