Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，点A（a，4）为抛物线C上的定点，点P为抛物线C上的动点．且△FOA的外接圆圆心到准线的距离为

3

2

．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过P作圆x²+（y-1）²=

1

4

的两条切线分别交该圆于点M，N，求四边形PMFN面积的最小值及此时P点坐标．
（3）设点T（0，t），且∠TAF=arccos

1

5

，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意得出圆心的纵坐标为

p

4

，由圆心到准线的距离等于

3

2

求出p的值，则抛物线方程可求；
（2）S_PMFN=2S_△PMF=2•

1

2

|PM||MF|=

1

2

|PM|，即可求四边形PMFN面积的最小值及此时P点坐标．
（3）利用向量的数量积公式，即可求实数t的值．

解答： 解：（1）△FOA的外接圆的圆心在线段OF的中垂线y=

p

4

上，则圆心的纵坐标为

p

4

故到准线的距离为

p

2

+

p

4

=

3

2

从而p=2…（2分）
即抛物线C的方程为：x²=4y．…（4分）
（2）设P（x₀，y₀），则
∵圆心坐标（0，1）是抛物线C的焦点F
∴|PF|=y₀+1…（6分）
S_PMFN=2S_△PMF=2•

1

2

|PM||MF|=

1

2

|PM|=

1

2

|PF|2- 1 4

-

1

2

(y0+1)2- 1 4

（y₀≥0）…（8分）
∴当y₀=0时，四边形PMFN面积的最小值为

3

4

，此时点P（0，0）．…（10分）
（3）由题意，A（4，4）或（-4，4），
A（4，4）时，

AT

=（-4，t-4），

AF

=（-4，-3），
∵∠TAF=arccos

1

5

，
∴16-3（t-4）=

1

5

16+(t-4)2

×5，
∴t=10±

6

；
根据对称性知，当A（-4，4）时，实数t的值不变．
综上得，t=10±

6

．…（12分）

点评：本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了方程思想和函数思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．