Question

已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是，AD⊥BC于D，则有，类比上述推理结论，写出下列条件下的结论：四面体P—ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积分别为S、S₁、S₂、S₃，二面角P—AB—C、P—BC—A、P—AC—B的度数分别为，则S=_________________________________________．               

Answer 1

这是一个类比推理的题，在由平面图形到空间图形的类比推理中，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由已知在平面几何中，若△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b?cosC+c?cosb，我们可以类比这一性质，推理出若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
解答：解：由已知在平面几何中，
在△ABC中，如果点A在BC边上的射影是D，△ABC的三边BC、AC、AB的长依次是a、b、c，则a=b?cosC+c?cosb，
我们可以类比这一性质，推理出：
若四面体P-ABC中，△ABC、△PAB、△PBC、△PCA的面积依次为S、S₁、S₂、S₃，
二面角P-AB-C、P-BC-A、P-CA-B的度数依次为α、β、γ，则S=S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．
故答案为：S₁cosα+S₂cosβ+S₃cosγ．