Question

(本小题满分16分)已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a为正数)．

(1) 若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(2) 求f(x)的单调区间；

(3) 设g(x)＝x²－2x，若对任意的x₁∈(0,2]，均存在x₂∈(0,2]，使得f(x₁)＜g(x₂)，求实数a的取值范围．

Answer 1

f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x＞0)．

(1) f′(1)＝f′(3)，解得a＝.(4分)

(2) f′(x)＝(x＞0)．

①当0＜a＜时，＞2，

在区间(0,2)和上，f′(x)＞0；

在区间上，f′(x)＜0，

故f(x)的单调递增区间是(0,2)和，单调递减区间是.(6分)

②当a＝时，f′(x)＝≥0，故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．(8分)

③当a＞时，0＜＜2，在区间和(2，＋∞)上，f′(x)＞0；在区间上，f′(x)＜0，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.(10分)

(3) 由已知，在(0,2]上有f(x)_max＜g(x)_max.(11分)

由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，

①当0＜a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2

＝－2a－2＋2ln2，

∴－2a－2＋2ln2＜0，解得a＞ln2－1，ln2－1＜0，故0＜a≤.(13分)

②当a＞时，f(x)在]上单调递增，在]上单调递减，

故f(x)_max＝f＝－2－－2lna.

由a＞可知lna＞ln＞ln＝－1,2lna＞－2，－2lna＜2，

∴－2－2lna＜0，f(x)_max＜0，(15分)

综上所述，a＞0.(16分)