Question

有下列命题：
①函数y=4cos2x，x∈[-10π，10π]不是周期函数；
②函数y=4cos 2x的图象可由y=4sin 2x的图象向右平移

π

4

个单位得到；
③函数y=4cos（2x+θ）的图象关于点(

π

6

，0)对称的一个必要不充分条件是θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)；
④若点P分有向线段

P1P2

的比为λ，且|

P1P2

|=3|

P2P

|，则λ的值为-4或4．
其中正确命题的序号是

①③

．

Answer 1

分析：由周期函数的定义可得①正确．根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换可得②不正确．利用余弦函数的对称性以及充分条件、必要条件的定义可得③正确．根据线段的定比分点分有向线段成的比的定义可得④不正确．

解答：解：由周期函数的定义可得①正确．
由y=4sin 2x的图象向右平移

π

4

个单位可得y=4sin2（x-

π

4

）=4sin（2x-

π

2

）=-4cos2x，故②不正确．
当函数y=4cos（2x+θ）的图象关于点(

π

6

，0)对称时，4cos（

π

3

+θ）=0，故

π

3

+θ=kπ+

π

2

，k∈z，
即 θ=kπ+

π

6

(k∈Z)，能推出θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)=

nπ+ π 6  ，k=2n nπ+ 2 3  ，k=2n+1

，故必要性成立．
当θ=

k

2

π+

π

6

(k∈Z)时，不能推出4cos（

π

3

+θ）=0，故不能推出y=4cos（2x+θ）的图象关于点(

π

6

，0)对称，
故充分性不成立，故③正确．
若点P分有向线段

P1P2

的比为λ，且|

P1P2

|=3|

P2P

|，则λ的值为2，或-4，故④不正确．
故答案为①③．

点评：本题主要考查余弦函数的对称性，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，线段的定比分点分有向线段成的比的定义，属于中档题．