Question

把圆周4等分，A是其中一个分点，动点P在四个分点上按逆时针方向前进．投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写着1，2，3，4四个数字，P从A点出发，按照正四面体底面上所投掷的点数前进（数字为n就前进n个分点），转一周之前继续投掷．
（Ⅰ）求点P恰好返回到A点的概率：
（Ⅱ）在点P转一周能返回A点的所有结果中，用随机变量ζ表示点P返回A点时的投掷次数，求ζ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（I）点P恰好返回到A点包括投掷1次返回A点时，所得底面上的数字为4，投掷2次返回A点时，应分别投出1，3；2，2；3，1三种点数情况，投掷3次返回A点时，应分别投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三种情况，投掷4次返回A点时，分别投出1，1，1，1情况，
根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（II）在恰能返回A点的情况下，ξ有1，2，3，4共四种取值的可能结果，结合第一问做出的结果，写出变量的分布列，做出数学期望．

解答：解：（Ⅰ）记点P恰好返回A点为事件A，投掷1次、2次、3次、4次返回A点分别为事件B₁、B₂、B₃、B₄，
则：投掷1次返回A点时，所得底面上的数字为4，故P（B₁）=

1

4

；
投掷2次返回A点时，应分别投出1，3；2，2；3，1三种点数情况，
故P（B₂）=

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

3

16

；
投掷3次返回A点时，应分别投出1，1，2；1，2，1；2，1，1三种情况，
故P（B₃）=

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

+

1

4

×

1

4

×

1

4

=

3

64

；
投掷4次返回A点时，分别投出1，1，1，1情况，故P（B₄）=

1

4

×

1

4

×

1

4

×

1

4

=

1

256

；
∴P（A）=P（B₁）+P（B₂）+P（B₃）+P（B₄）=

1

4

+

3

16

+

3

64

+

1

256

=

125

256

（Ⅱ）由（Ⅰ）知恰能返回A点的情况共有8种，
由随机变量ζ表示点P转一周能返回A点的所有结果中的投掷次数，
可得ξ有1，2，3，4共四种取值的可能结果，
∴P（ξ=1）=

1

8

，
P（ξ=2）=

3

8

，
P（ξ=3）=

3

8

，
P（ξ=4）=

1

8

，
∴ξ的分布列为

∴Eξ=1×

1

8

+2×

3

8

+3×

3

8

+4×

1

8

=

5

2

．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查互斥事件的概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查分类讨论思想，是一个综合题目，这种题目理科通常会作为高考题目．