Question

袋中装有大小相等的3个白球，2个红球和n个黑球，现从中任取2个球，每取得一个白球得1分，每取得一个红球得2分，每取得一个黑球0分，用ξ表示所得分数，已知得0分的概率为

1

6

．
（Ⅰ）袋中黑球的个数n；
（2）ξ的概率分布列及数学期望Eξ．
（3）求在取得两个球中有一个是红球的条件下，求另一个是黑球的概率．

Answer 1

分析：（1）由p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，知n²-3n-4=0，由此能求出袋中有黑球个数．
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4.p(ξ=0)=

1

6

，P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，P（ξ=2）=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，P(ξ=3)=

C 1 3 + C 1 2

C 2 9

=

1

6

，P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

．由此能求出ξ的概率分布列和Eξ．
（3）记摸出的两个球中有一个红球为事件A，有一个黑球为事件B，则

.

A

为两个球都不是红球．所以两个球中有一个是红球的概率为P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 7

C 2 9

=1-

21

36

=

15

36

，两个球为一红一黑的概率P(A∩B)=

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

2

9

，由此能求出取得的两个球中有一个红球的条件下，另一个是黑球的概率．

解答：解：（1）∵p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

，…（3分）
∴n²-3n-4=0，解得n=-1（舍去）或n=4，
即袋中有4个黑球．  …（4分）
（2）ξ可能的取值0，1，2，3，4．
∵p(ξ=0)=

1

6

，
P（ξ=1）=

C 1 4 C 1 3

C 2 9

=

1

3

，
P（ξ=2）=

C 2 3 + C 1 4 • C 1 2

C 2 9

=

11

36

，
P(ξ=3)=

C 1 3 + C 1 2

C 2 9

=

1

6

，
P(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

…（7分）
∴ξ的概率分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	1 6	1 3	11 36	1 6	1 36

Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

…（9分）
（3）记摸出的两个球中有一个红球为事件A，有一个黑球为事件B，则

.

A

为两个球都不是红球．
所以两个球中有一个是红球的概率为P(A)=1-P(

.

A

)=1-

C 2 7

C 2 9

=1-

21

36

=

15

36

，
两个球为一红一黑为事件A∩B，其概率P(A∩B)=

C 1 2 C 1 4

C 2 9

=

2

9

，
所以在取得的两个球中有一个红球的条件下，另一个是黑球的概率为：
P(B|A)=

P(A∩B)

P(A)

=

2 9

15 36

=

8

15

．（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力，解题时要认真审题，注意条件概率的性质和应用．