Question

7．已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点M在y轴正半轴上）．
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程；
（2）若角A为90°，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）设出B，C及BC中点坐标，利用点差法及重心坐标公式求出BC所在直线的斜率，则直线BC的方程可求；
（2）由A为90°，可得AB⊥AC，进一步得到x₁x₂+y₁y₂-14（y₁+y₂）+16=0，联立直线方程和椭圆方程，消元后由交轨法可得点D的轨迹方程．

解答 解：（1）由4x²+5y²=80，得$\frac{{x}^{2}}{20}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），BC中点为（x₀，y₀），BC所在直线的斜率为k，
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}=1$，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}=1$．
两式作差得：$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{20}+\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{16}=0$．
则$\frac{{x}_{0}}{5}+\frac{{y}_{0}k}{4}=0$．①
又由椭圆方程可得A（0，4），椭圆右焦点F（2，0），且已知F为三角形ABC的重心，
∴$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{3}=2$，即x₀=3．
$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4}{3}=0$，即y₀=-2．
把x₀=3，y₀=-2代入①，得$k=\frac{6}{5}$．
∴直线BC的方程为6x-5y-28=0；
（2）由AB⊥AC，得x₁x₂+y₁y₂-14（y₁+y₂）+16=0．②
设直线BC的方程为y=kx+b，
代入4x²+5y²=80，得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-10bk}{4+5{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{5{b}^{2}-80}{4+5{k}^{2}}$，
则${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{8k}{4+5{k}^{2}}，{y}_{1}{y}_{2}$=$\frac{4{b}^{2}-80{k}^{2}}{4+5{k}^{2}}$．
代入②得：$\frac{9{b}^{2}-32b-16}{4+5{k}^{2}}=0$，解得：b=4（舍）或b=-$\frac{4}{9}$．
则直线过定点（0，-$\frac{4}{9}$），设D（x，y），
$\frac{y+\frac{4}{9}}{x}•\frac{y-4}{x}=-1$，整理得：9y²+9x²-32y-16=0．
∴点D的轨迹方程是${x}^{2}+（y-\frac{16}{9}）^{2}=（\frac{20}{9}）^{2}$（y≠4）．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线和圆锥曲线位置关系的应用，训练了利用“点差法”、“交轨法”求点的轨迹问题，属中档题．