63
分析:根据S
n=T
1+T
2+…+T
n的意义即可求得n=3时S
3.根据S
1,S
2,S
3,猜想
-1,然后利用数学归纳法证明即可.
解答:当n=3时,A
3={1,3,7},
T
1=1+3+7=11,T
2=1×3+1×7+3×7=31,T
3=1×3×7=21,
所以S
3=11+31+21=63;
由S
1=1=2
1-1=
-1,S
2=7=2
3-1=
-1,S
3=63=2
6-1=
-1,猜想
-1,下面证明:
(1)易知n=1时成立;
(2)假设n=k时
-1,
则n=k+1时,S
k+1=T
1+T
2+T
3+…+T
k+1=[T
1′+(2
k+1-1)]+[T
2′+(2
k+1-1)T
1′]+[T
3′+(2
k+1-1)T
2′]+…+[T
k′+(2
k+1-1)
](其中T
i′,i=1,2,…,k,为n=k时可能的k个数的乘积的和为T
k),
=(
)+(2
k+1-1)+(2
k+1-1)(
)
=S
k+(2
k+1-1)+(2
k+1-1)S
k=2
k+1(
-1)+(2
k+1-1)
=
-1=
-1,即n=k时
-1也成立,
综合(1)(2)知对n∈N
*-1成立.
所以
-1.
故答案为:63;
-1.
点评:本题考查等差、等比数列的综合,考查合情推理,考查学生分析解决问题的能力,具有一定综合性,难度较大,能力要求较高.