Question

8．已知a≤4x³+4x²+1对任意x∈[-2，1]都成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-15]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，15）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 a≤4x³+4x²+1对任意x∈[-2，1]都成立，转化为三次多项式函数在区间上求最值的问题，可以分两步操作：①求出f（x）=x³-3x²+2的导数，从而得出其单调性；②在单调减区间的左端求出函数的极小值或区间端点的较小函数值，得出所给函数的最小值，实数a要小于等于这个值．

解答 解：a≤4x³+4x²+1对任意x∈[-2，1]都成立，
设函数f（x）=4x³+4x²+1，x∈[-2，1]
求出导数：f′（x）=12x²+8x，由f′（x）=0得x=0或$-\frac{2}{3}$．
可得在区间（-2，$-\frac{2}{3}$）上f′（x）＞0，函数为增函数，
在区间（$-\frac{2}{3}$，0）上f′（x）＜0，函数为减函数，
（0，1）上f′（x）＞0，函数为增函数，
因此函数在闭区间[-2，1]上在x=$-\frac{2}{3}$处取得极大值f（$-\frac{2}{3}$），f（1）=9．
x=0时函数取得极小值，f（0）=1，f（-2）=-15是最小值．
所以实数a≤-15．
故选：A．

点评 本题利用导数工具研究函数的单调性从而求出函数在区间上的最值，处理不等式恒成立的问题时注意变量分离技巧的应用，简化运算．