Question

设函数f（x）=（x²+mx）e^-x（m∈R）（e为自然对数的底）．
（1）求证：f（x）在R上不是单调函数．
（2）若f（x）=2在（0，2）内有解，求m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用反证法证明，假设f（x）在R上是单调函数，利用导数可证f′（x）＜0不恒成立，故假设不成立，结论成立．
（2）由题意得m=

2ex

x

-x，令h（x）=

2ex

x

-x，利用导数求得函数h（x）的最小值，即可得出结论．

解答： 解：（1）f′（x）=（2x+m）e^-x-（x²+mx）e^-x=[-x²+（2-m）x+m]e^-x，
假设f（x）在R上是单调函数，
∵e^-x＞0，
函数g（x）=-x²+（2-m）x+m开口向下，△=（2-m）²+4m=m²+4＞0，
∴g（x）恒小于零不成立，∴f′（x）＜0不恒成立，
因此假设错误，故f（x）在R上不是单调函数．
（2）∵f（x）=2，∴x²+mx=2e^x，m=

2ex

x

-x，
令h（x）=

2ex

x

-x，则h′（x）=

2ex(x-1)-x2

x2

，
∵x∈（0，2），∴h′（x）＜0，
∴函数h（x）在（0，2）上单调递减，
∴m＞h（2）=e²-2，
∴f（x）=2在（0，2）内有解，m的取值范围是（e²-2，+∞）．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数最值问题，考查学生反证法的运用及等价转化能力，属于中档题．