Question

已知定义域为R的函数f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函数
（1）求b的值；
（2）试讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对?t∈R，不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据定义域为R的奇函数图象必要原点，将（0，0）代入可得b值；
（2）根据指数函数的单调性，利用分析法，可求出函数f（x）的单调性；
（3）根据（1）（2）的结论，我们可将不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，转化为k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，利用二次函数的性质求出函数的最值，可得k的取值范围．

解答：解：（1）∵定义域为R的函数f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函数
∴f（0）=0
即b=1
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
因为1+2^x随x的增大而增大，
所以f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是减函数．
（3）因为f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是奇函数
∴不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0可化为
f（t-t²）＞f（k-t）
又∵f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是减函数
t-t²＜k-t
即k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，
∴k＞1

点评：本题是函数奇偶性与单调性的综合应用其中根据函数的奇偶性和单调性将不等式进行转化是解答的关键．