【题目】已知函数(为常数).
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)是否存在正实数,使得对任意,都有,若存在,求出实数的取值范围;若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)当时, ,对恒成立,求整数的最大值.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)2.
【解析】
(Ⅰ)由,讨论和导数的正负,从而可得函数的单调性;
(Ⅱ)由正实数a,结合(Ⅰ)的单调性可得,即g(x)=f(x)+在上单调递减,求导可得a对恒成立,分析不等式右边函数的最值即可;
(Ⅲ)由题意得lnx对恒成立,当x=1时,b; 又 b,通过证明b=2时不等式成立即可得解.
(Ⅰ)∵,.
∴(ⅰ)若,则恒成立f(x)在上单调递增;
(ⅱ)若,则.
令,解得;令,解得.
在上单调递减,在上单调递增.
综上:当时,f(x)在上单调递增;
当时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)满足条件的a不存在.理由如下:
若,由(Ⅰ)可知,函数f(x)=alnx+在为增函数;
不妨设,
则,即
∴由题意:g(x)=f(x)+在上单调递减,
∴在上恒成立,即a对恒成立;
又在上单调递减;
∴a;故满足条件的正实数a不存在.
(Ⅲ)当a=1时,使对恒成立
即lnx对恒成立.
∴ 当x=1时,b; 又 b
下面证明:当b=2时,lnx对恒成立.
当b=2时,lnx.
设g(x)=,则.
易知: ,
∴当时,;当时,.
∴g(x)
即当b=2时,lnx对恒成立.∴
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【题目】(本小题满分13分)
某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,……,8,其中X≥5为标准A,X≥3为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:
且X1的数字期望EX1=6,求a,b的值;
(II)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4 7 5 3 4 8 5 3
8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.
在(I)、(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?说明理由.
注:(1)产品的“性价比”=;
(2)“性价比”大的产品更具可购买性.
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【题目】设函数.
(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若函数与函数的图像总有两个交点,设两个交点的横坐标分别为,.
①求的取值范围;
②求证:.
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【题目】已知函数的定义域是,有下列四个命题,其中正确的有( )
A.对于(,0),函数在上是单调增函数
B.对于(0,),函数存在最小值
C.存在(,0),使得对于任意,都有成立
D.存在(0,),使得函数有两个零点
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【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设,求函数在区间上的最小值;
(3)某同学发现:总存在正实数,,使,试问:该同学的判断是否正确?若不正确,请说明理由;若正确,请直接写出的取值范围(不需要解答过程).
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【题目】某人的月工资由基础工资和绩效工资组成2010年每月的基础工资为2100元、绩效工资为2000元从2011年起每月基础工资比上一年增加210元、绩效工资为上一年的照此推算,此人2019年的年薪为______万元(结果精确到)
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【题目】从5名男生和4名女生中选出4人参加辩论比赛.
(1)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内,那么有多少种不同选法?
(2)如果4个人中既有男生又有女生,那么有多少种不同选法?
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了如图所示的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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