Question

【题目】已知函数f（x）=ax2﹣x﹣lnx，a∈R．
（1）当 时，求函数f（x）的最小值；
（2）若﹣1≤a≤0，证明：函数f（x）有且只有一个零点；
（3）若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：当 时， ．

所以 ，（x＞0）．

令f'（x）=0，得x=2，

当x∈（0，2）时，f'（x）＜0；当x∈（2，+∞）时，f'（x）＞0，

所以函数f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．

所以当x=2时，f（x）有最小值

（2）解：由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．

所以当a≤0时， ，

函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点

因为当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0， ，

所以当﹣1≤a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上有零点．

综上，当﹣1≤a≤0时，函数f（x）有且只有一个零点

（3）解：由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．

因为函数f（x）有两个零点，所以a＞0．

由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，令g（x）=2ax2﹣x﹣1．

因为g（0）=﹣1＜0，2a＞0，

所以函数g（x）在（0，+∞）上只有一个零点，设为x0．

当x∈（0，x0）时，g（x）＜0，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0．

所以函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0，+∞）上单调递增．

要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，

只需要函数f（x）的极小值f（x0）＜0，即 ．

又因为 ，所以2lnx0+x0﹣1＞0，

又因为函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，且h（1）=0，

所以x0＞1，得 ．

又由 ，得 ，

所以0＜a＜1． …13分

以下验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．

当0＜a＜1时， ，

所以 ．

因为 ，且f（x0）＜0．

所以函数f（x）在 上有一个零点．

又因为 （因为lnx≤x﹣1），且f（x0）＜0．

所以函数f（x）在 上有一个零点．

所以当0＜a＜1时，函数f（x）在 内有两个零点．

综上，实数a的取值范围为（0，1）．

下面证明：lnx≤x﹣1．

设t（x）=x﹣1﹣lnx，所以 ，（x＞0）．

令t'（x）=0，得x=1．

当x∈（0，1）时，t'（x）＜0；当x∈（1，+∞）时，t'（x）＞0．

所以函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

所以当x=1时，t（x）有最小值t（1）=0．

所以t（x）=x﹣1﹣lnx≥0，得lnx≤x﹣1成立

【解析】（1）当 时， ．求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值．（2）由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ．当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点，当﹣1≤a≤0时，f（1）=a﹣1＜0， ，推出结果．（3）由（2）知，当a≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上最多有一个零点．说明a＞0，由f（x）=ax2﹣x﹣lnx，得 ，说明函数f（x）在（0，x0）上单调递减；在（x0 ， +∞）上单调递增． 要使得函数f（x）在（0，+∞）上有两个零点，只需要 ．通过函数h（x）=2lnx+x﹣1在（0，+∞）上是增函数，推出0＜a＜1．验证当0＜a＜1时，函数f（x）有两个零点．证明：lnx≤x﹣1．
设t（x）=x﹣1﹣lnx，利用导数求解函数的最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的极值与导数(求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值)．