Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),且当x∈[－1，1]时，f(x)=x³.

（1）求f(x)在[1，5]上的表达式；

（2）若A={x| f(x)>a,x∈R},且A，求实数a的取值范围.

Answer 1

解：(1)(x+2)=-－f(x), x∈R，∴f(x)= －f(x－2).

    当x∈[1，3]时，x－2∈[－1,1],∴f(x)= －f(x－2)= －(x－2)³=(2－x)³.

又f(x)= －f(x+2)=f(x+4), ∴f(x)是以4为周期的函数.

当x∈[3，5]时，x－4∈[－1,1], f(x)=f(x－4)= (x－4)³. 

（2）当  当x∈[3,5]时，y= f(x)=(x－4)³,  ∴y∈[－1,1],  ∴f(x)在[1，5]上的值域为[－1,1] ，又f(x)是以4为周期的函数，∴当x∈R时，f(x) ∈[－1,1]

∴当a<1时，存在x使f(x)>a，故a的取值范围为a<1.