Question

【题目】设函数f（x）=aexlnx+ ，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．
（Ⅰ）求a、b；
（Ⅱ）证明：f（x）＞1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）= + ，

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，

故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+ ，

∵f（x）＞1，∴exlnx+ ＞1，∴lnx＞ ﹣ ，

∴f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，

∴当x∈（0， ）时，g′（x）＜0；当x∈（ ，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0， ）上单调递减，在（ ，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（ ）=﹣ ．

设函数h（x）=xe﹣x﹣ ，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，

故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，

从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣ ．

综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

【解析】（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣ ，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）= ，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；