Question

16、如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=A₁B₁，AC₁⊥平面A₁BD，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）求证：B₁C₁⊥平面ABB₁A₁；

Answer 1

分析：（I）由中位线定理得到B₁C∥MD，再由线面平行的判定理理得到B₁C∥平面A₁BD；
（Ⅱ）先证明A₁B⊥B₁C₁，BB₁⊥B₁C₁求再由线面垂直的判定理得到B₁C₁⊥平面ABB₁A₁．

解答：（Ⅰ）证明：如图，连接AB₁与A₁B相交于M，则M为A₁B的中点，
连接MD，D又为AC的中点，
∴B₁C∥MD．
又B₁C不包含于平面A₁BD，MD?平面A₁BD，B₁C∥平面A₁BD
∴B₁C∥平面A₁BD．（5分）
（Ⅱ）∵AB=B₁B∴四边形ABB₁A₁为正方形
∴A₁B⊥AB₁
又∵AC₁⊥面A₁BD，∴AC₁⊥A₁B，
∴A₁B⊥面AB₁C₁，
∴A₁B⊥B₁C₁，
又在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中BB₁⊥B₁C₁，
∴B₁C₁⊥平面ABB₁A₁（9分）

点评：本题主要考查线面平行和线面垂直的判定定理以及三角形中位线定理．