Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+lnx-$\frac{3}{2}$x．
（1）判断f（x）是否为定义域上的单调函数，并说明理由；
（2）设x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，求m的最小整数值．

Answer 1

分析 （1）f（x）不为定义域上的单调函数．求出导数，判断符号，即可得到结论；
（2）由题意可得m+$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{3}$x²+$\frac{lnx}{x}$在（0，e]恒成立，求得g（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{lnx}{x}$的导数，判断符号，运用单调性求得最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）不为定义域上的单调函数．
函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+lnx-$\frac{3}{2}$x的导数为f′（x）=x²+$\frac{1}{x}$-$\frac{3}{2}$，
由x＞0，x²+$\frac{1}{x}$=x²+$\frac{1}{2x}$+$\frac{1}{2x}$≥3$\root{3}{{x}^{2}•\frac{1}{2x}•\frac{1}{2x}}$=3$\root{3}{\frac{1}{4}}$，
可得f′（x）不恒大于0，也不恒小于0，
则有f（x）在定义域上不为单调函数；
（2）x∈（0，e]，f（x）-mx≤0恒成立，
即为m+$\frac{3}{2}$≥$\frac{1}{3}$x²+$\frac{lnx}{x}$在（0，e]恒成立，
由g（x）=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{lnx}{x}$的导数为$\frac{2}{3}$x+$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
x∈（0，e]，1-lnx＞0，可得g′（x）＞0，
g（x）递增，g（e）取得最大值，且为$\frac{1}{3}$e²+$\frac{1}{e}$，
即有m≥$\frac{1}{3}$e²+$\frac{1}{e}$-$\frac{3}{2}$．
由于$\frac{1}{3}$e²+$\frac{1}{e}$-$\frac{3}{2}$介于1到2之间，
即有m的最小整数值为2．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．