Question

（2013•重庆）对正整数n，记I_n={1，2，3…，n}，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}．
（1）求集合P₇中元素的个数；
（2）若P_n的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求n的最大值，使P_n能分成两个不相交的稀疏集的并．

Answer 1

分析：（1）对于集合P₇ ，有n=7．当k=4时，根据P_n中有3个数与I_n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得集合P₇中元素的个数．
（2）先用反证法证明证当n≥15时，P_n不能分成两个不相交的稀疏集的并集，再证P₁₄满足要求，从而求得n的最大值．

解答：解：（1）对于集合P₇ ，有n=7．当k=4时，P_n={

m

k

|m∈I_n，k∈I_n}中有3个数（1，2，3）与
I_n={1，2，3…，n}中的数重复，由此求得
集合P₇中元素的个数为 7×7-3=46．
（2）先证当n≥15时，P_n不能分成两个不相交的稀疏集的并集．否则，设A和B为两个不相交的稀疏集，使A∪B=P_n?I_n ．
不妨设1∈A，则由于1+3=2²，∴3∉A，即3∈B．同理可得，6∈A，10∈B．又推出15∈A，但1+15=4²，
这与A为稀疏集相矛盾．
再证P₁₄满足要求．当k=1时，P₁₄={

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄}=I₁₄，可以分成2个稀疏集的并集．
事实上，只要取A₁={1，2，4，6，9，11，13}，B₁={3，5，7，8，10，12，14}，则A₁和B₁都是稀疏集，且A₁∪B₁=I₁₄．
当k=4时，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整数外，剩下的数组成集合{

1

2

，

3

2

，

5

2

，…，

13

2

}，可以分为下列3个稀疏集的并：
A₂={

1

2

，

5

2

，

9

2

，

11

2

}，B₂={

3

2

，

7

2

，

13

2

}．
当k=9时，集合{

m

k

|m∈I₁₄}中，除整数外，剩下的数组成集合{

1

3

，

2

3

，

4

3

，

5

3

，…，

13

3

，

14

3

}，
可以分为下列3个稀疏集的并：
A₃={

1

3

，

4

3

，

5

3

，

10

3

，

13

3

}，B₃={

2

3

，

7

3

，

8

3

，

11

3

，

14

3

}．
最后，集合C═{

m

k

|m∈I₁₄，k∈I₁₄，且k≠1，4，9 }中的数的分母都是无理数，
它与P_n中的任何其他数之和都不是整数，
因此，令A=A₁∪A₂∪A₃∪C，B=B₁∪B₂∪B₃，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P₁₄．
综上可得，n的最大值为14．

点评：本题主要考查新定义，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．