Question

【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如下表所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败．

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16
女			50
合计

（Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？
（Ⅲ）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为X，求X的分布列与数学期望E（X）．
（参考公式： ，其中n=a+b+c+d）

P（K2≥k0）	0.40	0.25	0.15	0.10	0.05	0.025
k0	0.780	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由频率分布直方图各小长方形面积总和为1， 可知（2a+0.020+0.030+0.040）×10=1，
解得a=0.005；
（Ⅱ）由频率分布直方图知，晋级成功的频率为0.20+0.05=0.25，
所以晋级成功的人数为100×0.25=25（人），
填表如下：

	晋级成功	晋级失败	合计
男	16	34	50
女	9	41	50
合计	25	75	100

假设“晋级成功”与性别无关，
根据上表数据代入公式可得 ，
所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关；
（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率为1﹣0.25=0.75，
将频率视为概率，则从本次考试的所有人员中，随机抽取1人进行约谈，
这人晋级失败的概率为0.75，
所以X可视为服从二项分布，即 ，
，
故 ，
，
，
，
，
所以X的分布列为

X	0	1	2	3	4
P（X=k）

数学期望为 ，
或（ ）
【解析】（Ⅰ）由频率和为1，列出方程求a的值；（Ⅱ）由频率分布直方图求出晋级成功的频率，计算晋级成功的人数，填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（Ⅲ）由频率分布直方图知晋级失败的频率，将频率视为概率，知随机变量X服从二项分布，计算对应的概率值，写出分布列，计算数学期望；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用离散型随机变量及其分布列的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握在射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．离散型随机变量的分布列：一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一个值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列．