Question

设函数f（x）=a-

2

2x+1

，
（1）描述函数f（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）确定a的值，使f（x）为奇函数并求此时f（x）的值域．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数奇偶性的判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）运用函数的单调性的定义，注意作差、变形、定符号和下结论，即可判断；
（2）由函数的奇偶性的定义，即可得到a，再运用变量分离，结合指数函数的值域，即可得到所求值域．

解答： 解：（1）任取x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，∴2x1＜2x2，即2x1-2x2＜0，又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴不论a为何值，f（x）总为增函数；
（2）假设存在实数a，函数f(x)=a-

2

2x+1

是奇函数，
因为f（x）的定义域为R，所以f（0）=a-1=0，所以a=1．
此时f(x)=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，则f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-f(x)，
所以f（x）为奇函数．即存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数．
∵f(x)=1-

2

2x+1

，2x＞0，1+2x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，-2＜-

2

1+2x

＜0，
∴f（x）的值域为：（-1，1）．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查函数的值域的求法，考查运算能力，属于中档题．