Question

已知函数f（x）=ax+2ln（ax+1），其中实常a∈（1，6）．
（Ⅰ）当a=2时，比较f（x）与6x²+6x的大小；
（Ⅱ）已知函数f（x）的图象与直线y=6x相切，证明x∈（1，3）时，（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值,不等式比较大小

专题：转化思想,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）把a=2代入函数f（x）的解析式，构造函数g（x）=f（x）-（6x²+6x），求导得到其最大值为g（0）=0，从而得到f（x）与6x²+6x的大小；
（Ⅱ）首先证明函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点时a的值为2，当a=2时构造函数h（x）=f(

x -1

2

)-

6x-6

x+3

=lnx+

x

-1-

6x-6

x+3

，求导后放缩得到
h′(x)≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

=

(x+5)(x+3)2-96x

4x(x+3)2

，然后记分子为p（x），二次求导后得到p（x）说明存在x₀∈（1，3），使p′（x₀）=0，且在（1，x₀）上递减，在（x₀，3）上递增，再由又p（1）=0，p（3）=0，说明x∈[1，3]时，p（x）_max=0，x∈（1，3）时恒有p（x）＜0，进而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上递减，则（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6成立．

解答： （Ⅰ）解：a=2时，f（x）=2x+2ln（2x+1）（x＞-

1

2

），
记g（x）=f（x）-（6x²+6x），则g′(x)=f′(x)-(12x+6)=-4•

6x2+5x

2x+1

，
当x∈(-

1

2

，0)时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，
∴g（x）在x=0时取得极大值，也是最大值为g（0）=0，
则g（x）=f（x）-（6x²+6x）≤g（0）=0，
即f（x）≤6x²+6x；
（Ⅱ）证明：O（0，0）是函数f（x）的图象与直线y=6x的一个公共点，
f′(x)=a+

2a

ax+1

，f′(0)=3a．
若函数y=f（x）在（0，0）处相切，则3a=6，解得a=2，
当函数f（x）的图象与直线y=6x不在（0，0）处相切时，设切点为P（x₀，y₀），
则y（x₀）=ax₀+2ln（ax₀+1）=6x₀，且y′(x0)=a+

2a

ax0+1

=6，
联立消去x₀得，2ln

2a

6-a

+

6

a

-3=0，
设φ(a)=2ln

2a

6-a

+

6

a

-3，则φ′(a)=2•

6-a

2a

•

12

(6-a)2

-

6

a2

=

18(a-2)

a2(6-a)

，
当a∈（1，2）时，φ′（a）＜0；当a∈（2，6）时，φ′（a）＞0，
∴φ（a）在a=2时有最小值为φ（2）=0，
∴函数φ（a）有唯一零点a=2．
即函数f（x）的图象与直线y=6x相切，则a=2．
由a=2，得f(

x -1

2

)=

x

+lnx-1，
记h（x）=f(

x -1

2

)-

6x-6

x+3

=lnx+

x

-1-

6x-6

x+3

，
则h′(x)=

1

x

+

1

2 x

-

24

(x+3)2

，
∵x∈（1，3），∴

1

x

+

1

2 x

=

x +2

2x

=

2 x +4

4x

=

(x+5)-( x -1)2

4x

≤

x+5

4x

，
∴h′(x)≤

x+5

4x

-

24

(x+3)2

=

(x+5)(x+3)2-96x

4x(x+3)2

．
又记p（x）=（x+5）（x+3）²-96x=x³+11x²-57x+45，
则p′（x）=3x²+22x-57，p′（1）=-320，
说明存在x₀∈（1，3），使p′（x₀）=0．
∵p′（x）是二次函数，则x∈（1，x₀）时，p′（x）＜0；
x∈（x₀，3）时，p′（x）＞0，
∴p（x）在（1，x₀）上递减，在（x₀，3）上递增．
又p（1）=96-96=0，p（3）=288-288=0，
则x∈[1，3]时，p（x）_max=0，x∈（1，3）时恒有p（x）＜0，
进而恒有h′（x）＜0，h（x）在（1，3）上递减．
故x∈（1，3）时恒有h（x）＜h（1）=0，
即（x+3）f（

x -1

2

）＜6x-6．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，对于（Ⅱ）的证明，对h（x）求导后的放缩是该题的难点和关键，体现了数学转化思想方法，本题对于学生的逻辑思维能力要求过高，同时要求考生具有较强的计算能力，是难度较大的题目．