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定义在R上的函数,对任意不等的实数都有成立,又函数的图象关于点(1,0)对称,若不等式成立,则当1≤x<4时,的取值范围是

A.          B.           C.          D.

 

【答案】

A

【解析】

试题分析:解:因为对任意不等实数x1,x2满足所以函数f(x)是定义在R上的单调递减函数.因为函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,0)对称,即函数f(x)是定义在R上的奇函数.又因为对于任意的x,y∈R,不等式f(x2-2x)+f(2y-y2)≤0成立,所以f(x2-2x)≥f(-2y+y2)成立,所以根据函数的单调性可得:对于任意的x,y∈R,不等式x2-2x≥y2-2y成立,即(x-y)(x+y-2)≥0(1≤x≤4),所以可得其可行域,如图所示:

因为=所以表示点(x,y)与点(0,0)连线的斜率,所以结合图象可得:的最小值是直线OC的斜率- ,最大值是直线AB的斜率1,所以的范围为:[故答案为:

考点:抽象函数的性质

点评:解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质的证明与判断,如单调性、奇偶性的证明与判断,并且熟练的利用函数的性质解有关的不等式,以及熟练掌握线性规划问题,此题综合性较强知识点也比较零散,对学生掌握知识与运用知识的能力有一定的要求.

 

练习册系列答案
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设f(x)是定义在R上的函数,对m,n∈R恒有f(m+n)=f(m)•f(n),且当x>0时,0<f(x)<1.
(1)求证:f(0)=1;
(2)求证:当x∈R时,恒有f(x)>0;
(3)求证:f(x)在R上是减函数.

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设f(x)是定义在R上的函数,对任意x,y∈R,恒有f(x+y)=f(x)•f(y),当x>0时,有0<f(x)<1.
(1) 求证:f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;
(2) 证明:f(x)在R上单调递减.

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若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,则f(2009)的值是(  )

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若f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,都有f(x+4)≤f(x)+4和f(x+2)≥f(x)+2,且f(1)=0,则f(2013)的值是(  )

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定义在R上的函数,对任意x1,x2∈R,都有f(
x1+x2
2
)≥
1
2
[f(x1)+f(x2)]
,则称函数f(x)是R上的凸函数.已知二次函数f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0).
(1)求证:当a<0时,函数f(x)是凸函数;
(2)对任意x∈(0,1],f(x)≥-1恒成立,求实数a的取值范围.

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