Question

4．已知$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc，设f（x）=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$
（1）若不等式f（x）＜1的解集为R，求m的取值范围．
（2）若任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6-m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由新定义可得f（x），由题意可得mx²-mx-1＜0恒成立，对m讨论，分m=0，m＜0，判别式小于0，解不等式即可得到所求m的范围；
（2）由题意可得mx²-mx＜6-m在[1，3]恒成立，即为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值．由g（x）=x²-x+1在[1，3]的单调性可得最大值，即可得到m的范围．

解答 解：（1）f（x）=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$=mx（x+1）-2mx=mx²-mx，
由题意可得mx²-mx-1＜0恒成立．
当m=0时，-1＜0，恒成立；
当m＜0时，△＜0即m²+4m＜0，即为-4＜m＜0；
当m＞0时，不等式不恒成立．
综上可得，m的范围是（-4，0]；
（2）任意的x∈[1，3]，不等式f（x）＜6-m恒成立．
即有mx²-mx＜6-m在[1，3]恒成立，
即为m＜$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值．
由g（x）=x²-x+1在[1，3]递增，即有g（x）的值域为[1，7]．
则$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$．
即有m的取值范围为（-∞，$\frac{6}{7}$）．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法和参数分离方法，结合二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．