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4.已知$|\begin{array}{l}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{array}|$=ad-bc,设f(x)=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求m的取值范围.
(2)若任意的x∈[1,3],不等式f(x)<6-m恒成立,求m的取值范围.

分析 (1)由新定义可得f(x),由题意可得mx2-mx-1<0恒成立,对m讨论,分m=0,m<0,判别式小于0,解不等式即可得到所求m的范围;
(2)由题意可得mx2-mx<6-m在[1,3]恒成立,即为m<$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值.由g(x)=x2-x+1在[1,3]的单调性可得最大值,即可得到m的范围.

解答 解:(1)f(x)=$|\begin{array}{l}{mx}&{m}\\{2x}&{x+1}\end{array}|$=mx(x+1)-2mx=mx2-mx,
由题意可得mx2-mx-1<0恒成立.
当m=0时,-1<0,恒成立;
当m<0时,△<0即m2+4m<0,即为-4<m<0;
当m>0时,不等式不恒成立.
综上可得,m的范围是(-4,0];
(2)任意的x∈[1,3],不等式f(x)<6-m恒成立.
即有mx2-mx<6-m在[1,3]恒成立,
即为m<$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值.
由g(x)=x2-x+1在[1,3]递增,即有g(x)的值域为[1,7].
则$\frac{6}{{x}^{2}-x+1}$的最小值为$\frac{6}{7}$.
即有m的取值范围为(-∞,$\frac{6}{7}$).

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法,注意运用分类讨论的思想方法和参数分离方法,结合二次函数的图象和性质,考查运算能力,属于中档题.

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