【题目】在△ABC中,已知AB=2,AC=3,BC=.
(1)求角A的大小;
(2)求cos(B﹣C)的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)利用余弦定理求得的值,由此求得的大小.(2)利用正弦定理求得的值,利用同角三角函数的基本关系式求得的值,利用二倍角公式求得的值,再利用两角差的余弦公式求得的值.
解:
(1)由余弦定理得:cosA===,
因为A∈(0,π),所以A=.
(2)由正弦定理得:=,所以sin C===.
又因为AB<BC,所以C<A
即0<C<,所以cosC===.
所以sin2C=2 sinC cosC=2··=,
cos2C=2cos2C-1=2()2-1=.
因为A+B+C=π,A=.所以B+C=,所以B=-C,
所以cos(B-C)=cos(-2C)=coscos2C+sinsin2C=(-)·+·=.
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【题目】已知抛物线,为其焦点,抛物线的准线交轴于点T,直线l交抛物线于A,B两点。
(1)若O为坐标原点,直线l过抛物线焦点,且,求△AOB的面积;
(2)当直线l与坐标轴不垂直时,若点B关于x轴的对称点在直线AT上,证明直线l过定点,并求出该定点的坐标。
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【题目】已知曲线的一个最高点为,与点相邻一个最低点为,直线与轴的交点为.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的单调增区间;
(3)若时,函数恰有一个零点,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:的离心率为,点A(2,1)是椭圆E上的点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)过点A作两条互相垂直的直线l1,l2分別与椭圆E交于B,C两点,己知△ABC的面积为,求直线BC的方程.
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【题目】已知,都是各项为正数的数列,且,.对任意的正整数n,都有,,成等差数列,,,成等比数列.
(1)求数列和的通项公式;
(2)若存在p>0,使得集合M=恰有一个元素,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知以C为圆心的圆及其上一点.
(1)设平行于的直线与圆C相交于两点,且,求直线的方程;
(2)设点满足:存在圆C上的两点使得,求实数t的取值范围.
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【题目】据调查,某地区有300万从事传统农业的农民,人均年收入6000元,为了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有万人进企业工作,那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高,而进入企业工作的农民的人均年收入为元.
(1)在建立加工企业后,多少农民进入企业工作,能够使剩下从事传统农业农民的总收入最大,并求出最大值;
(2)为了保证传统农业的顺利进行,限制农民加入加工企业的人数不能超过总人数的,当地政府如何引导农民,即取何值时,能使300万农民的年总收入最大.
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【题目】从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名学生作为样本测量身高.测量发现被测学生身高全部介于155cm和195cm之间,将测量结果按如下方式分成八组:第一组;第二组;…;第八组.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.已知第一组与第八组人数相同,第六组与第八组人数之和为第七组的两倍.
(1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180cm以上(含180cm)的人数;
(2)求第六组和第七组的频率并补充完整频率分布直方图.
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