Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=CC₁，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：CB₁⊥平面ABC₁；
（Ⅱ）求证：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据直三棱柱的性质，利用面面垂直性质定理证出AB⊥平面BB₁C₁，得出AB⊥CB₁．正方形BCC₁B₁中，对角线CB₁⊥BC₁，由线面垂直的判定定理可证出CB₁⊥平面ABC₁；
（II）取AC₁的中点F，连BF、NF，利用三角形中位线定理和平行四边形的性质，证出EF∥BM且EF=BM，从而得到BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，结合线面平行判定定理即可证出MN∥面ABC₁．
解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
侧面BB₁C₁C⊥底面ABC，且侧面BB₁C₁C∩底面ABC=BC，
∵∠ABC=90°，即AB⊥BC，
∴AB⊥平面BB₁C₁      …（2分）
∵CB₁?平面BB₁C₁C，∴AB⊥CB₁．…（4分）
∵BC=CC₁，CC₁⊥BC，∴BCC₁B₁是正方形，
∴CB₁⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴CB₁⊥平面ABC₁．
（Ⅱ）取AC₁的中点F，连BF、NF．…（7分）
在△AA₁C₁中，N、F是中点，
∴NFAA₁，
又∵正方形BCC₁B₁中BMAA₁，
∴EF∥BM，且EF=BM…（8分）
故四边形BMNF是平行四边形，可得MN∥BF，…（10分）
∵EF?面ABC₁，MN?平面ABC₁，
∴MN∥面ABC₁…（12分）
点评：本题给底面为直角三角形的直三棱柱，在已知侧棱与底面直角边长相等的情况下证明线面垂直．着重考查了空间直线与平面平行、垂直的判定与性质等知识，属于中档题．