【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,设椭圆 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 右顶点为A,上顶点为B,离心率为e.椭圆上一点C满足:C在x轴上方,且CF1⊥x轴.
(1)若OC∥AB,求e的值;
(2)连结CF2并延长交椭圆于另一点D若 ≤e≤ ,求 的取值范围.
【答案】
(1)
解:椭圆 =1(a>b>0)的焦距为2c,
由CF1⊥x轴.则C(﹣c,y0),y0>0,
由C在椭圆上,则y0= ,则C(﹣c, ),
由OC∥AB,则﹣ =kOC=kAB=﹣ ,则b=c,
e= = = ,
e的值
(2)
解:设D(x1,y1),设 =λ ,
C(﹣c, ),F2(c,0),
故 =(2c,﹣ ), =(x1﹣c,y1),
由 =λ ,则2c=λ(x1﹣c),﹣ =λy1,则D( c,﹣ ),
由点D在椭圆上,则( )2e2+ =1,整理得:(λ2+4λ+3)e2=λ2﹣1,
由λ>0,e2= = =1﹣ ,
由 ≤e≤ ,则 ≤e2≤ ,则 ≤1﹣ ≤ ,
解得: ≤λ≤5,
∴ 的取值范围[ ,5]
【解析】(1)由CF1⊥x轴.则C(﹣c, ),根据直线的斜率相等,即可求得b=c,利用离心率公式即可求得e的值;(2)根据向量的坐标运算,求得D点坐标,代入椭圆方程,求得e2= =1﹣ ,由离心率的取值范围,即可求得λ的取值范围.
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【题目】△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a≠b,c= ,且bsinB﹣asinA= acosA﹣ bcosB.
(Ⅰ)求C;
(Ⅱ)若△ABC的面积为 ,求a与b的值.
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【题目】把函数 的图象上每个点的横坐标扩大到原来的4倍,再向左平移 ,得到函数g(x)的图象,则函数g(x)的一个单调递减区间为( )
A.
B. ??
C.
D.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),直线交椭圆E于A,B两点,△ABF1的周长为16,△AF1F2的周长为12.
(1)求椭圆E的标准方程与离心率;
(2)若直线l与椭圆E交于C,D两点,且P(2,2)是线段CD的中点,求直线l的一般方程.
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【题目】已知数列满足,对每个正整数,有或.如这个数列可以为1,2,4,6,10….
(1)若某一项为奇数,且不为3的倍数,证明:;
(2)证明:;
(3)若在的前2015项中,恰有t个项为奇数,求t的最大值.
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【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为,过F1的直线l与椭圆C交于M,N两点,且△MNF2的周长为8.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y=kx+b与椭圆C分别交于A,B两点,且OA⊥OB,试问点O到直线AB的距离是否为定值,证明你的结论.
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【题目】已知正六边形ABCDEF的边长为2,沿对角线AE将△FAE的顶点F翻折到点P处,使得 .
(1)求证:平面PAE⊥平面ABCDE;
(2)求二面角B﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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【题目】某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示:由表可得线性回归方程中的,据此模型预测零售价为15元时,每天的销售量为_____个.
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