【题目】在一次数学竞赛中,某些选手是朋友关系.记所有选手的集合为X,对集合X的子集Y,若可以将这些人两两分组,且每组中两名选手均是朋友关系,则称子集Y“可两两分组”.已知集合X不可两两分组,且对于任意选手,若A、B不是朋友关系,则可两两分组,且X中没有一个人与其他所有人均为朋友关系证明:对任意选手,若a、b为朋友关系,b、c为朋友关系,则a、c也为朋友关系
【答案】见解析
【解析】
考虑一个图G,顶点由集合X组成,若X中两人认识,则将这两人相连,否则不相连若一个图中的点可以两两分组,且每组中两个点均相连,则称这种分组为图G的一个“完美匹配”(可以看成是图G的一个子图).于是,题目的条件变成了图G不存在完美匹配,且若x、y不相连,则G+xy(表示把这个图G的xy也相连)存在一个完美匹配,且没有一个点与所有点均相连.
用反证法.
若存在a、b、c使得a、b认识,b、c认识,但a、c不认识,由于没有人认识其他所有人,故存在,使得b、d不认识.
由假设可得G+ac有一个完美匹配,记为;G+bd也有一个完美匹配记为.
考虑与的对称差
.
则容易得到S是一些互不相交的圈,且每个圈均由偶数个点组成,设ac属于圈,bd属于圈.
分两种情形讨论
若,则在圈外的点按照的分组方式分组,在圈中按照的分组方式即可得到原图G的一个完美匹配,即得矛盾.
若,则这个圈从b出发沿边bd开始,不妨设首先连到点a,即b到a的路径(首先经过边bd)为P,于是,P+ab为一个圈,其中,有一半的边(间隔地)属于对P+ab这个圈外的点按的方式分组,而对P+ab按ab及的方式分组即可得到原图G的一个完美匹配,即得矛盾.
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【题目】某医院为筛查某种疾病,需要检验血液是否为阳性,现有()份血液样本,有以下两种检验方式:(1)逐份检验,则需要检验次;(2)混合检验,将其中(且)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性,这份的血液全为阴性,因而这份血液样本只要检验一次就够了,如果检验结果为阳性,为了明确这份血液究竟哪几份为阳性,就要对这份再逐份检验,此时这份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中,每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的,且每份样本是阳性结果的概率为.
(1)假设有5份血液样本,其中只有2份样本为阳性,若采用逐份检验方式,求恰好经过4次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率.
(2)现取其中(且)份血液样本,记采用逐份检验方式,样本需要检验的总次数为,采用混合检验方式,样本需要检验的总次数为
(ⅰ)试运用概率统计的知识,若 ,试求关于的函数关系式;
(ⅱ)若,采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少,求的最大值.
参考数据:,,,,
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【题目】已知椭圆()的左焦点为,点为椭圆上任意一点,且的最小值为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)设O为坐标原点,若动直线与椭圆交于不同两点、(、都在轴上方),且.
(i)当为椭圆与轴正半轴的交点时,求直线的方程;
(ii)对于动直线,是否存在一个定点,无论如何变化,直线总经过此定点?若存在,求出该定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数 (万人)与餐厅所用原材料数量 (袋),得到如下统计表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
参会人数 (万人) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 (袋) | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根据所给5组数据,求出关于的线性回归方程.
(2)已知购买原材料的费用 (元)与数量 (袋)的关系为,
投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元,多余的原材料只能无偿返还,据悉本次交易大会大约有15万人参加,根据(1)中求出的线性回归方程,预测餐厅应购买多少袋原材料,才能获得最大利润,最大利润是多少?(注:利润销售收入原材料费用).
参考公式: , .
参考数据: , , .
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【题目】编号分别为的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:
运动员编号 | ||||||||||||
得分 | 5 | 10 | 12 | 16 | 8 | 21 | 27 | 15 | 6 | 22 | 18 | 29 |
(1)完成如下的频率分布表:
得分区间 | 频数 | 频率 |
3 | ||
合计 |
(2)从得分在区间内的运动员中随机抽取2人,求这2人得分之和大于25的概率.
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【题目】已知(m,n为常数),在处的切线方程为.
(Ⅰ)求的解析式并写出定义域;
(Ⅱ)若任意,使得对任意上恒有成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)若有两个不同的零点,求证: .
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【题目】在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与直线平行,且过坐标原点,圆的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线和圆的极坐标方程;
(2)设直线和圆相交于点、两点,求的周长.
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