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如图,已知抛物线C:x2=4y,过焦点F任作一条直线与C相交于A,B两点,过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).
(Ⅰ)证明:动点D在定直线上;
(Ⅱ)点P为抛物线C上的动点,直线l为抛物线C在P点处的切线,求点Q(0,4)到直线l距离的最小值.
考点:抛物线的简单性质,抛物线的标准方程
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:(I)设AB的方程为y=kx+1,代入x2=4y,整理得x2-4kx-4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x1x2=-4,由直线AO的方程y=
y1
x1
x与BD的方程x=x2,联立即可求得交点D的坐标为
x=x2
y=
y1x2
x1
,利用x1x2=-4,即可求得D点在定直线y=-1(x≠0)上;
(Ⅱ)设P(x0,y0)为C上的点,求导,写出C在P点处的切线方程,利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离,然后利用基本不等式求出其最小值.
解答: 证明:(I)依题意,可设AB的方程为y=kx+1,代入x2=4y,得x2=4(kx+1),即x2-4kx-1=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则有:x1x2=-4,
直线AO的方程为y=
y1
x1
x;BD的方程为x=x2
解得交点D的坐标为
x=x2
y=
y1x2
x1

注意到x1x2=-4及x12=4y1,则有y=
y1x1x2
x12
=
-4y1
4y1
=-1,
因此D点在定直线y=-1(x≠0)上.
(Ⅱ)抛物线C:x2=4y的方程可化为:y=
1
4
x2
设P(x0,y0)为曲线C:y=
1
4
x2上一点,因为y′=
1
2
x,所以l的斜率为k=
1
2
x0
因此直线l的方程为y-y0=
1
2
x0(x-x0),即x0x-2y+2y0-x02=0.
则点Q(0,4)到l的距离d=
|-8+2y0-
x
2
0
|
4+
x
2
0

又y0=
1
4
x02
所以d=
|-8-
1
2
x
2
0
|
4+
x
2
0
=
1
2
x
2
0
+8
4+
x
2
0
=
1
2
4+
x
2
0
+
12
4+
x
2
0
)≥
1
2
×2
4+
x
2
0
12
4+
x
2
0
=2
3

所以x02=8时取等号,
所以Q点到l距离的最小值为2
3
点评:本题考查抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.
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已知函数f(x)=ex,g(x)=mx+n.
(1)设h(x)=f(x)-g(x).
①若函数h(x)在x=0处的切线过点(1,0),求m+n的值;
②当n=0时,若函数h(x)在(-1,+∞)上没有零点,求m的取值范围;
(2)设函数r(x)=
1
f(x)
+
nx
g(x)
,且n=4m(m>0),求证:当x≥0时,r(x)≥1.

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在△OAB中,已知P为线段AB上一点,
OP
=x
OA
+y
OB
BP
PA
(λ为实数),OA=4,OB=2,∠AOB=60°
(1)当λ=1时,求x,y的值;
(2)当λ=3时,求
OP
AB
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(3)当2≤λ≤3时,求
OP
AB
的取值范围.

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已知函数f(x)=
sinx,x∈[0,2]
1
2
f(x-2),x∈(2,+∞)
有下列说法:
①函数f(x)对任意x1,x2∈[0,+∞),都有|f(x1)-f(x2)|≤2成立
②函数f(x)在[
1
2
(4n-3),
1
2
(4n-1)](n∈N•)上单调递减;
③函数y=f(x)-log2x+1在(0,+∞)上有3个零点;
④当k∈[
8
7
,+∞)时,对任意x>0,不等式f(x)≤
k
x
都成立.
其中正确的说法的个数是(  )
A、4B、3C、2D、1

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已知sin( α+
π
6
)=
1
3
,且α∈(0,π),则tanα=
 

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已知函数f(x)=loga
x-2
bx+2
(a>0且a≠1)为奇函数.
(1)求b的值;
(2)判断f(x)在(2,+∞)上的单调性;
(3)若f(x)=loga
x-2
bx+2
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某地计划建设一个外墙侧面面积为1500m2的仓储,现有两种方案,一是仓储外墙设计正四棱锥的侧面(如图a),四个侧面均为底边长为30m的等腰三角形;二是仓储外墙设计为面半径为20m的圆锥的侧面(如图b),请问选用哪一种方案能使仓储的空间更大一些,并说明理由.

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如果函数f(x)=sin2x+acos2x的图象关于点(
π
8
,0)成中心对称,那么a=(  )
A、
2
B、-
2
C、1
D、-1

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