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设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a>1)
短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.
分析:依题意可知|PQ|=
x2+(y-1)2
,因为Q在椭圆上,所以x2=a2(1-y2),|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1-a2
2-
1
1-a2
+1+a2.由此分类讨论进行求解.
解答:解:由已知得到P(0,1)或P(0,-1)
由于对称性,不妨取P(0,1)
设Q(x,y)是椭圆上的任一点,
则|PQ|=
x2+(y-1)2
,①
又因为Q在椭圆上,
所以,x2=a2(1-y2),
|PQ|2=a2(1-y2)+y2-2y+1=(1-a2)y2-2y+1+a2
=(1-a2)(y-
1
1-a2
2-
1
1-a2
+1+a2.②
因为|y|≤1,a>1,若a≥
2
,则|
1
1-a2
|≤1,
所以如果它包括对称轴的x的取值,那么就是顶点上取得最大值,
即当-1≤
1
1-a2
≤1时,
在y=
1
1-a2
时,|PQ|取最大值
a2
a2-1
a2-1

如果对称轴不在y的取值范围内的话,那么根据图象给出的单调性来求解.
即当
1
1-a2
<-1时,则当y=-1时,|PQ|取最大值2.
点评:本题考查椭圆的基本性质及其应用,解题时要认真审题,细心计算.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的两焦点F1、F2和短轴的两端点B1、B2正好是一正方形的四个顶点,且焦点到椭圆上一点的最近距离为
2
-1

(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P是椭圆上任一点,MN是圆C:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求
PM
PN
的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,设F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左焦点,直线l为左准线,直线l与x轴交于P点,MN为椭圆的长轴,已知
PM
=2
MF
,且|
MN
|=8

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点P作直线与椭圆交于A、B两点,求△ABF面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设P是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>0,b>0)
上的点,F1,F2是其焦点,若|PO|是|PF1|、|PF2|的等差中项,则P点的个数是 (  )

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

设P是椭圆
x2
a2
+y2=1   (a>1)
短轴的一个端点,Q为椭圆上一个动点,求|PQ|的最大值.

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