Question

7．如图所示的是一个圆台的侧面展开图，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．

Answer 1

分析 由侧面展开图可知圆台上底周长为16$•\frac{π}{4}$=4π，下底周长为（16+8）$•\frac{π}{4}$=6π，母线长为8，从而计算出上下底面半径，再利用圆台的母线、高、半径差能构成一个直角三角形可求得圆台的高，分别代入圆台表面积和体积公式计算即可．

解答 解：设圆台上下底面半径分别为r，R，母线为l，高为h，则
$\left\{\begin{array}{l}{2πr=16•\frac{π}{4}}\\{2πR=24•\frac{π}{4}}\\{l=8}\end{array}\right.$解得r=2，R=3，l=8．
∵h²+（R-r）²=l²，
∴h=3$\sqrt{7}$．
圆台的表面积为S=πr²+πR²+πrl+πRl=53π，
圆台的体积为V=$\frac{1}{3}$（$π{r}^{2}+π{R}^{2}+\sqrt{π{r}^{2}•π{R}^{2}}$）h=19$\sqrt{7}$π．

点评 本题考查了圆台的表面积与体积，找到侧面展开图与圆台的对应关系是解题关键．