Question

已知函数f（x）的图象经过点（1，λ），且对任意x∈R，
都有f（x+1）=f（x）+2．数列{a_n}满足．
（1）当x为正整数时，求f（n）的表达式；（2）设λ=3，求a₁+a₂+a₃+…+a_2n；
（3）若对任意n∈N^*，总有a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，求实数λ的取值范围．

Answer 1

（1）2²ⁿ+n﹣2．（2）λ的取值范围为（﹣2，+∞）．

试题分析：解：
（1）记b_n=f（n），由f（x+1）=f（x）+2有b_n+1﹣b_n=2对任意n∈N^*都成立，
又b₁=f（1）=λ，所以数列b_n为首项为λ公差为2的等差数列，   2分
故b_n=2n+λ﹣2，即f（n）=2n+λ﹣2．   4分
（2）由题设λ=3
若n为偶数，则a_n=2^n﹣1；若n为奇数且n≥3，则a_n=f（a_n﹣1）=2a_n﹣1+λ﹣2=2•2^n﹣2+λ﹣2=2^n﹣1+λ﹣2=2^n﹣1+1
又a₁=λ﹣2=1，
即- 6分
a₁+a₂+a₃++a_2n=（a₁+a₃++a_2n﹣1）+（a₂+a₄++a_2n）=（2⁰+2²++2^2n﹣2+n﹣1）+（2¹+2³++2^2n﹣1）
=（1+2¹+2²++2^2n﹣1）+n﹣1=2²ⁿ+n﹣2．  8分
（3）当n为奇数且n≥3时，a_n+1a_n+2﹣a_na_n+1=a_n+1（a_n+2﹣a_n）=2ⁿ[2ⁿ⁺¹+λ﹣2﹣（2^n﹣1+λ﹣2）]=3•2^2n﹣1＞0； 10分
当n为偶数时，a_n+1a_n+2﹣a_na_n+1=a_n+1（a_n+2﹣a_n）=（2ⁿ+λ﹣2）（2ⁿ⁺¹﹣2^n﹣1）]=3•2^n﹣1（2ⁿ+λ﹣2），因为a_na_n+1＜a_n+1a_n+2，所以2ⁿ+λ﹣2＞0，
∵n为偶数，∴n≥2，
∵2ⁿ+λ﹣2单增∴4+λ﹣2＞0，即λ＞﹣2
故λ的取值范围为（﹣2，+∞）．  12分
点评：解决的关键是利用数列的通项公式以及数列的单调性来得到证明，属于中档题。