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4.已知函数f(x)=x2-x+1.
(1)若y=f(x)-kx在[4,+∞)单调递增,求k的取值范围;
(2)若函数h(x)=f(x)+2m在区间(-1,0)上存在零点,求a的取值范围;
(3)设g(t)=f(2t+a),t∈[-1,1],求g(t)的最大值.

分析 (1)先求出函数的对称轴,根据函数的单调性得到关于k的不等式,解出即可;
(2)先求出函数的对称轴,结合函数的零点定理得到h(-1)>0,h(0)<,解不等式即可;
(3)先求出g(t)的表达式,求出函数的对称轴,通过讨论对称轴的位置,确定函数的单调性,从而求出g(t)的最大值即可.

解答 解:(1)y=f(x)-kx=x2-(k+1)x+1,
对称轴x=$\frac{k+1}{2}$,
若y=f(x)-kx在[4,+∞)单调递增,
则$\frac{k+1}{2}$≤4,解得:k≤7;
(2)h(x)=f(x)+2m=x2-x+1+2m,
对称轴x=$\frac{1}{2}$,
若函数h(x)=f(x)+2m在区间(-1,0)上存在零点,
则h(-1)=3+2m>0,h(0)=1+2m<0,
∴-$\frac{3}{2}$<m<-$\frac{1}{2}$;
(3)g(t)=f(2t+a)=4t2+(4a-2)t+a2-a+1,t∈[-1,1],
对称轴x=-$\frac{2a-1}{4}$,
①-$\frac{2a-1}{4}$≤-1即a≥$\frac{5}{2}$时:
g(t)在[-1,1]递增,
g(t)max=g(1)=a2+3a+3,
②-1<-$\frac{2a-1}{4}$≤0即0≤a<$\frac{5}{2}$时:
g(t)在[-1,-$\frac{2a-1}{4}$)递减,在(-$\frac{2a-1}{4}$,1]递增,
g(t)max=g(1)=a2+3a+3,
③0<-$\frac{2a-1}{4}$≤1即-$\frac{3}{2}$≤a<0时:
g(t)在[-1,-$\frac{2a-1}{4}$)递减,在(-$\frac{2a-1}{4}$,1]递增,
g(t)max=g(-1)=a2-5a+7,
④-$\frac{2a-1}{4}$>1即a<-$\frac{3}{2}$时:
g(t)在[-1,1]递减,
g(t)max=g(1)=a2-5a+7.

点评 本题考查了二次函数的性质,考查分类讨论,是一道中档题.

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