Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（a为常数，a＞0且a≠1）．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=|a|+loga

a

an

，若数列{b_n}的前n项和S_n中，S₅为最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当 n≥2时，由 S_n=a（S_n-a_n+1）可得，s_n-1=a（s_n-1-a_n-1+1）．两式相减得：a_n=a a_n-1，即数列{a_n}是等比数列，且首项为a，公比为a，由此求得{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）化简数列{b_n}=|a|+1-n，可得 b_n+1-b_n=-1，即数列{b_n}为以 a为首项，公差为-1的等差数列．由

b5≥0 b6≤0

，解不等式求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）s₁=a（s₁-a₁+1），∴a₁=a．…（1分）
当 n≥2时，由 S_n=a（S_n-a_n+1）可得，s_n-1=a（s_n-1-a_n-1+1）．
两式相减得：a_n=a a_n-1，…（3分）
由于a为常数，a＞0且a≠1，∴

an

an-1

=a，…（4分）
即数列{a_n}是等比数列，∴a_n=a a^n-1=aⁿ． …（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=|a|+loga

a

an

=|a|+1-n，
∴b_n+1=|a|-n，b_n+1-b_n=-1，
即数列{b_n}为以 a为首项，公差为-1的等差数列． …（8分）
由题意数列{b_n}为递减数列且S₅为最大值，∴

b5≥0 b6≤0

，…（10分）
即

-5+|a|+1≥0 -6+|a|+1≤0

，又a＞0，解得4≤a≤5．…（14分）

点评：本题主要考查等比关系、等差关系的确定，数列的函数特性，属于中档题．