Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．
（Ⅰ）当a=

1

3

时，若不等式f′(x)＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，
（i） 求f（x）的解析式；
（ii）求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，将不等式f′(x)＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，转化为使x²+2bx+b＞0恒成立，利用判别式，即可确定b的取值范围；
（Ⅱ）（i）利用函数f（x）为奇函数，可得b=0，利用在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，即可确定函数的解析式；
（ii）求导函数，确定函数的单调区间，进而分类讨论：当t∈(-1，-

3

3

)时，即使f(-1)≤-

1

4

t≤f(t)；当t∈(-

3

3

，0)时，即使f(-1)=-

1

4

t或-

1

4

t=f(-

3

3

)；当t∈[0，

3

3

]时，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(

3

3

)≤-

1

4

t＜0；当t∈[

3

3

，1)时，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(t)≤-

1

4

t＜0；当t∈[1，

2 3

3

)时，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)；当t∈[

2 3

3

，+∞)时，即使-

1

4

t=f(

3

3

)或f(-

3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，由此可知实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=

1

3

时，f′(x)=x2+2bx+b-

1

3

若使不等式f′(x)＞-

1

3

对任意x∈R恒成立，只需使x²+2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，
即使（2b）²-4b＜0成立，∴b的取值范围为：（0，1）
（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax²+2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b
又在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，∴2a+3b=2
又函数f（x）为奇函数，∴b=0，∴a=1，
∴f（x）=x³-x
（ii）求导函数可得f′（x）=3x²-1
令f′（x）＞0，可得x＜-

3

3

或x＞

3

3

，令f′（x）＜0，可得-

3

3

＜x＜

3

3

∴函数的单调增区间为（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞），减区间为(-

3

3

，

3

3

)．
当t∈(-1，-

3

3

)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)≤-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(-

3

2

，-

3

3

)
当t∈(-

3

3

，0)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使f(-1)=-

1

4

t或-

1

4

t=f(-

3

3

)，此时无解
当t∈[0，

3

3

]时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(

3

3

)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(0，

3

3

]
当t∈[

3

3

，1)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或f(t)≤-

1

4

t＜0，∴t∈(

3

3

，

3

2

]
当t∈[1，

2 3

3

)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(-

3

3

)或-

1

4

t=f(

3

3

)，此时无解
当t∈[

2 3

3

，+∞)时，若使关于x的方程f(x)=-

1

4

t在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使-

1

4

t=f(

3

3

)或f(-

3

3

)＜-

1

4

t≤f(t)，∴t∈(

2 3

3

，

8 3

9

]
综上，可知实数t的取值范围为：(-

3

2

，-

3

3

)∪(0，

3

2

]∪(

2 3

3

，

8 3

9

]

点评：本题主要考查利用导数法研究函数的单调性，研究恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，综合性强，难度大．