Question

【题目】已知f（x）=a（x﹣lnx）+ ﹣ ，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a= 时，证明：f（x）＞f′（x）+ 对于任意的x∈[1，2]成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（0，+∞），

，

当a≤0，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当a＞0时，f′（x）= （x+ ）（x﹣ ），

①0＜a＜2时 ，

当 时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

②a=2时 ，当x∈（0，+∞）时f′（x）≥0，f（x）单调递增；

③a＞2时， ，

当 单调递增，

当 时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

综上所述，

当a≤0时，函数f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减；

当0＜a＜2时，函数f（x）在（0，1）内单调递增，在1， ）内单调递减，在（ ，+∞）内单调递增；

当a=2时，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增；

当a＞2时，函数f（x）在（0， ）内单调递增，在（ ，1）内单调递减，在（1，+∞）内单调递增．

（2）证明：由（1）知， 时，

= ，

设 ，

f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x）则g′（x）= ≥0，

∴ ，当且仅当x=1时取等号，

又 ，设（x）=﹣5x2﹣4x+12，则（x）在x∈[1，2]单调递减，

∴x0∈[1，2]使得x∈（1，x0）时（x）＞0，x∈（x0，2）时（x）＜0，

∴h（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减，

∵ ，

∴ ，

即 对于任意的x∈[1，2]成立

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围确定导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（2）求出f（x）﹣f′（x）的表达式，分别令 ，则f（x）﹣f′（x）=g（x）+h（x），根据函数的单调性怎么即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的最大(小)值与导数的理解，了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．