Question

设

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空间两个单位向量，且k

a

+

b

与2

a

-

b

互相垂直，求实数k的值．

Answer 1

分析：因为

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空间两个单位向量，所以可求出x，y的值，再计算k

a

+

b

与2

a

-

b

的坐标，根据k

a

+

b

与2

a

-

b

互相垂直，得到它们的数量积为0，再通过计算k

a

+

b

与2

a

-

b

的数量积，即可求出k值．

解答：解：∵

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)是空间两个单位向量
∴

x2+12+02

=1，

(- 2 2 ) 2+y2+( 1 2 )2

=1
∴x=0，y=±

1

2

∵

a

=(x，1，0)，

b

=(-

2

2

，y，

1

2

)
∴k

a

+

b

=k(x，1，0)+(-

2

2

，y，

1

2

)=（kx-

2

2

，k+y，

1

2

）
2

a

-

b

=2(x，1，0)-(-

2

2

，y，

1

2

)=（2x+

2

2

，2-y，-

1

2

）
∵k

a

+

b

与2

a

-

b

互相垂直，∴(k

a

+

b

)•(2

a

-

b

)=0
即，（kx-

2

2

）（2x+

2

2

）+（k+y）（2-y）+

1

2

×（-

1

2

）=0
把x=0，y=±

1

2

代入，得，k=0或

4

5

点评：本题考查了空间向量垂直的充要条件，做题时应认真思考．