Question

【题目】设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+ ）的定义域为R；命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立．如果“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：∵命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣x+ a）的定义域为R，
∴ax2﹣x+ a＞0恒成立，
解得a＞1；
∵命题q：不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，令g（x）=3x﹣9x ，
∵g（x）=3x﹣9x=﹣（3x﹣ ）2+ ＜0，
∴a≥0．
∵“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，
∴命题p与命题q一真一假．
若p真q假，则a∈；
若p假q真，即，则0≤a≤1．
综上所述，实数a的取值范围：[0，1]．
【解析】利用对数函数的定义域是R求得p真，不等式3x﹣9x＜a对一切正实数x均成立，求出q真时x的范围，再由真值表作出解答即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用命题的真假判断与应用和函数的定义域及其求法的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系；求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零．