Question

11．已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，当2≤x≤3时，f（x）=x，则f（5.5）=2.5．

Answer 1

分析 先由f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，证明函数为周期为4的周期函数，再利用周期性和对称性，将f（5.5）转化到2≤x≤3时的函数值，具体是f（5.5）=f（1.5）=f（-1.5）=f（2.5）

解答 解：∵f（x+2）=-$\frac{1}{f（x）}$，∴f（x+4）=-$\frac{1}{f（x+2）}$=f（x）
∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4
∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）
∵f（x）是定义在R上的偶函数
∴f（5.5）=f（1.5）=f（-1.5）=f（-1.5+4）=f（2.5）
∵当2≤x≤3，f（x）=x
∴f（2.5）=2.5
∴f（5.5）=2.5
故答案为：2.5．

点评 本题考察了函数的周期性和函数的奇偶性，能由已知抽象表达式推证函数的周期性，是解决本题的关键，函数值的转化要有较强的观察力，