Question

已知定义在区间[-1，1]上的函数f(x)=

2x+b

x2+1

为奇函数．．
（1）求实数b的值．
（2）判断函数f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并证明你的结论．
（3）f（x）在x∈[m，n]上的值域为[m，n]（-1≤m＜n≤1 ），求m+n的值．

Answer 1

分析：（1）依题意，由f（0）=0即可求得b的值；
（2）由（1）得b=0，从而求得f（x）的解析式，利用导数即可判断其增减性；
（3）利用函数的单调性，再结合题意可求得m，n，从而可得到m+n的值．

解答：解：（1）∵定义在区间[-1，1]上的函数f（x）=

2x+b

x2+1

为奇函数，
∴f（0）=0，即b=0，…（2分）
检验：当b=0时，f（x）=

2x

x2+1

为奇函数，…（3分）
∴b=0．
（2）函数f（x）=

2x

x2+1

在区间（-1，1）上是增函数…（4分）
证明：∵f（x）=

2x

x2+1

，
∴f′（x）=

2(x2+1)-2x•2x

(x2+1)2

=

2(1-x2)

(x2+1)2

，…（6分）
∵x∈（-1，1），
∴f′（x）＞0，…（7分）
∴函数f（x）在区间（-1，1）上是增函数 …（8分）
（3）由（2）知函数f（x）在区间[m，n]上是增函数，函数f（x）的值域为[f（m），f（n）]
∴

f(m)=m f(n)=n

即

2m m2+1 =m① 2n n2+1 =n②

…（9分）
由①得m=-1 或 0或1，
由②得n=-1 或 0或1…（11分）
又∵-1≤m＜n≤1
∴m=-1，n=0；或m=-1，n=1；或m=0，n=1…（12）
∴m+n=-1；或m+n=0；或m+n=1…（13）

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，判断出f（x）在（-1，1）上是增函数是解决问题的关键，对m，n的取值情况的讨论是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．