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    【题目】已知函数.

    （1）若函数是偶函数，求实数的值；

    （2）若函数，关于的方程有且只有一个实数根，求实数的取值范围.

    【答案】（1）（2）

    【解析】

    （1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求的值；

    （2）根据题意方程有且只有一个实数根，等价于只有一个实数根，等价于有且只有一个实数根，令，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根，结合二次函数的性质来分析。

    解：（1）因为是偶函数，

    所以对任意的成立，

    所以对任意的成立，

    所以对任意的成立，

    所以.

    （2）因为，，

    所以，

    所以

    设，则有关于的方程.

    若，即，则需关于的方程有且只有一个大于的实数根.

    设，则，

    所以，

    所以成立，

    所以，满足题意；

    若，即时，解得，不满足题意；

    若，即时，，且，

    所以.

    当时，关于的方程有且只有一个实数根，满足题意.

    综上，所求实数的取值范围是..

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