Question

点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，设长度分别为a、b、c．若这三条弦总长为6，以点P为顶点，这三条弦为侧棱的三棱锥的体积为

1

3

，则

1

a

+

1

b

+

1

c

=（　　）

• A．

  2

  11

• B．

  11

  2

• C．

  4

  11

• D．

  11

  4

Answer 1

分析：由点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，推出这三条弦为侧棱的三棱锥是长方体的一个角的三棱锥，A-BCD，如图，三棱锥扩展为长方体，它们的外接球是一个，通过已知的数据关系，列出方程组，求出a，b，c即可确定

1

a

+

1

b

+

1

c

的值．

解答：解：由题意可知：三条弦为侧棱的三棱锥是长方体的一个角的三棱锥，如图三棱锥A-BCD，扩展为长方体，它们的外接球是一个，长方体的体对角线就是外接球的直径，因为点P在直径为5的球面上，过P作两两垂直的3条弦，
设长度分别为a、b、c．若这三条弦总长为6，以点P为顶点，这三条弦为侧棱的三棱锥的体积为

1

3

，
所以

a+b+c=6       a2+b2+c2=25 1 3 × 1 2 abc= 1 3

，即

a+b+c=6       …① a2+b2+c2=25 …② abc=2…③

①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由

④

③

得

2ab+2bc+2ac

abc

=

11

2

，所以

1

a

+

1

b

+

1

c

=

11

4

．
故选D．

点评：本题考查几何体的外接球的理解，能够把三棱锥扩展为长方体，外接球相同是解题的关键，考查计算能力整体思想的应用．