Question

已知双曲线与椭圆有公共的焦点为F₁（0，-4），F₂（0，4），它们的离心率之和为

14

5

，P为椭圆上一点，△PF₁F₂的周长为18
（1）求椭圆的离心率和椭圆的标准方程．
（2）求双曲线的标准方程．

Answer 1

分析：（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=

4

5

求出 a，b，c．最后写出椭圆的离心率和椭圆的标准方程；
（2）由于双曲线的焦点为F（0，±4），离心率为2从而求得其参数a，b，c．最后写出双曲线方程即可．

解答：解：（1）由于椭圆焦点为F（0，±4），离心率为e=

4

5

（3分）
椭圆的标准方程为为

y2

25

+

x2

9

=1（6分）
（2）由于双曲线的焦点为F（0，±4），
离心率为2
从而c=4，a=2，b=2

3

（10分）
所以求双曲线方程为：

y2

4

-

x2

12

=1（14分）

点评：本题考查椭圆双曲线的标准方程，以及简单性质的应用，用待定系数法求出椭圆标准方程是解题的关键．