Question

如图，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左右焦点分别为F₁，F₂，线段OF₁，OF₂的中点分别为B₁，B₂，且△AB₁B₂是面积为4的直角三角形．
（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；
（Ⅱ）过B₁做直线l交椭圆于P，Q两点，使PB₂⊥QB₂，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F₂（c，0），利用△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，可得∠B₁AB₂为直角，从而，利用c²=a²-b²，可求，又S=|B₁B₂||OA|==4，故可求椭圆标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2，代入椭圆方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16-0，利用韦达定理及PB₂⊥QB₂，利用可求m的值，进而可求直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，F₂（c，0）
∵△AB₁B₂是的直角三角形，|AB₁|=AB₂|，∴∠B₁AB₂为直角，从而|OA|=|OB₂|，即
∵c²=a²-b²，∴a²=5b²，c²=4b²，∴
在△AB₁B₂中，OA⊥B₁B₂，∴S=|B₁B₂||OA|=
∵S=4，∴b²=4，∴a²=5b²=20
∴椭圆标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知B₁（-2，0），B₂（2，0），由题意，直线PQ的倾斜角不为0，故可设直线PQ的方程为x=my-2
代入椭圆方程，消元可得（m²+5）y²-4my-16=0①
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∴，
∵，
∴=
∵PB₂⊥QB₂，∴
∴，∴m=±2
所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x+2y+2=0和x-2y+2=0．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形的面积计算，综合性强．