Question

设数列{a_n}的前n项和为Sn=2an-2n．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用Sn=2an-2n，n分别取1，2，3，代入计算可求a₁，a₂，a₃；
（2）利用Sn=2an-2n，再写一式，化简即可证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）由an=2an-1+2n-1，可得n≥2时，

an

2n-1

=

an-1

2n-2

+1，利用累加法，即可求{a_n}的通项公式．

解答：（1）解：∵Sn=2an-2n，∴S1=2a1-21，∴a₁=2．…（1分）
a2=S1+22=2+2²=6…（2分）
a3=S2+23=8+2³=16…（3分）
（2）证明：∵Sn=2an-2n，
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1-2n-1…（4分）
∴两式相减可得an-2an-1=2n-1…（6分）
∴

an+1-2an

an-2an-1

=2，…（7分）
∴{a_n+1-2a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（8分）
（3）解：由（2）得an=2an-1+2n-1，
∴n≥2时，

an

2n-1

=

an-1

2n-2

+1…（10分）
由累加法可得

an

2n-1

=

a1

20

+n-1
∴a_n=（n+1）•2^n-1．…（12分）
当n=1时，a₁=2也满足上式，…（13分）
∴a_n=（n+1）•2^n-1…（14分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．