Question

4．在△ABC中，tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC，若AB=1，则△ABC周长的取值范围（2，3]．

Answer 1

分析 利用三角形的三角和为π及三角函数的诱导公式化简已知的等式，利用三角形中内角的范围，求出∠C的大小，三角形的正弦定理将边BC，CA用角A的三角函数表示，利用两角差的正弦公式展开，再利用三角函数中的公式asinα+bcosα=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（α+θ）将三角形的周长化简成y=Asin（ωx+φ）+k形式，利用三角函数的有界性求出△ABC周长的取值范围．

解答 解：由tan$\frac{A+B}{2}$=2sinC及$\frac{A+B}{2}$=$\frac{π}{2}$-$\frac{C}{2}$，得cot$\frac{C}{2}$=2sinC，
∴$\frac{cos\frac{C}{2}}{sin\frac{C}{2}}$=4sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$
∵0＜$\frac{C}{2}$＜$\frac{π}{2}$，cos$\frac{C}{2}$＞0，sin$\frac{C}{2}$＞0，
∴sin²$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{4}$，sin$\frac{C}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{C}{2}$=$\frac{π}{6}$，∴C=$\frac{π}{3}$．
由正弦定理，得$\frac{AB}{sinC}$=$\frac{BC}{sinA}$=$\frac{CA}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
△ABC的周长y=AB+BC+CA=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinA+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin（$\frac{2π}{3}$-A）
=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（$\frac{3}{2}$sinA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosA）
=1+2sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴△ABC周长的取值范围是（2，3]，
故答案为：（2，3]．

点评 解决三角函数的取值范围问题一般利用三角函数的诱导公式、两个角的和、差公式、倍角公式以及公式asinα+bcosα=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（α+θ）将三角函数化为y=Asin（ωx+φ）+k形式．