【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,点
在椭圆
上,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且与
轴不重合的直线交椭圆
于
,
两点,直线
分别与
轴交于点
,
,.求证:以
为直径的圆恒过交点
,
,并求出
面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(Ⅰ)根据点在椭圆
上,且△
的面积为
,结合性质
,列出关于
、
、
的方程组,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(Ⅱ)直线
的方程为
,设点
(不妨设
),则点
,由
,消去
得
,所以
,
,可证明
,
,同理
,则以img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2018/10/05/10/304d3c4b/SYS201810051001336893528698_DA/SYS201810051001336893528698_DA.024.png" width="29" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />为直径的圆恒过焦点
,
,可得
,进而可得结果.
试题解析:(Ⅰ),
,
又点在椭圆
上,
,
,
解得,或
(舍去),又
,
,
所以椭圆的方程为
;
(Ⅱ),
,
,
方法一:当直线的斜率不存在时,
,
为短轴的两个端点,则
,
,
,
,则以
为直径的圆恒过焦点
,
,
当的斜率存在且不为零时,设直线
的方程为
,
设点(不妨设
),则点
,
由,消去
得
,所以
,
,
所以直线的方程为
,
因为直线与
轴交于点
,令
得
,
即点,同理可得点
,
,
,
,同理
,
则以为直径的圆恒过焦点
,
,
当的斜率存在且不为零时,
,
△
面积为
,
又当直线的斜率不存在时,
,△
面积为
,
△
面积的取值范围是
.
方法二:当,
不为短轴的两个端点时,设
,
则,由点
在椭圆
上,
,
所以直线的方程为
,令
得
,
即点,同理可得点
,
以为直径的圆可化为
,
代入,化简得
,
令解得
以
为直径的圆恒过焦点
,
,
,又
,
,
△
面积为
,
当,
为短轴的两个端点时,
,△
面积为
,
△
面积的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】中欧班列是推进与“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措,作为中欧铁路在东北地区的始发站,沈阳某火车站正在不断建设.目前车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无需建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米
.
(1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低?
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为元
,若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业有甲、乙两条生产线生产同种产品,现随机从这两条生产线上各抽取20件产品检测质量(单位:克),质量值落在,
的产品为三等品,质量值落在
,
的产品为二等品,质量值落在
的产品为一等品.下表为从两条生产线上各抽取的20件产品的质量检测情况,将频率视为概率,从甲生产线上随机抽取1件产品,为二等品的概率为0.2.
(1)求的值;
(2)现从两条生产线上的三等品中各抽取1件,求这两件产品的质量均在的概率;
(3)估算甲生产线20个数据的中位数(保留3位有效数字).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在四棱锥中,
底面
,底面
为梯形,
,
,且
.
(Ⅰ)若点为
上一点且
,证明:
平面
;
(Ⅱ)求二面角的大小;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点
,使得
?若存在,求出
的长;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点
的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为
米,圆心角为
(弧度).
(1)求关于
的函数关系式;
(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,求
关于
的函数关系式,并求出
为何值时,
取得最大值?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】九章算术
是我国古代著名数学经典
其中对勾股定理的论述比西方早一千多年,其中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中,不知大小
以锯锯之,深一寸,锯道长一尺
问径几何?”其意为:今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深一寸,锯道长一尺
问这块圆柱形木料的直径是多少?长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如图所示
阴影部分为镶嵌在墙体内的部分
已知弦
尺,弓形高
寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为( )(注:1丈
尺
寸,
,
)
A. 600立方寸 B. 610立方寸 C. 620立方寸 D. 633立方寸
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