【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,点是椭圆上任意一点,的最小值为,且该椭圆的离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若是椭圆上不同的两点,且,若,试问直线是否经过一个定点?若经过定点,求出该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由.
【答案】(1)(2)直线过定点
【解析】
(1)依题意得到方程组解得;
(2)已知且,可知点同在轴的上方或下方,
由对称性可知,若动直线经过一个定点,则该定点在轴上,因为,所以点关于轴的对称点在直线上,
设直线的方程为,则直线的方程为,联立直线与椭圆方程,列出韦达定理,由直线的斜率,得直线的方程为,令,计算其横坐标是否为定值.
解:(1)依题意得,解得,所以椭圆;
(2)直线过定点,
证明:已知且,可知点同在轴的上方或下方,
由对称性可知,若动直线经过一个定点,则该定点在轴上,
因为,所以点关于轴的对称点在直线上,
设直线的方程为,则直线的方程为,
联立,消去整理得又,
所以,
由直线的斜率,得直线的方程为,
令,得:,
由,
所以
即,
所以直线过定点.
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【题目】抛物线有光学性质,即由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线对称轴的方向射出,反之亦然.如图所示,今有抛物线,一光源在点处,由其发出的光线沿平行于抛物线的对称轴的方向射向抛物线上的点,反射后,又射向抛物线上的点,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴方向射出,途中遇到直线上的点,再反射后又射回点.设,两点的坐标分别是,.
(1)证明:;
(2)若四边形是平行四边形,且点的坐标为.求直线的方程.
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【题目】某高校在2019年的冬令营考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如下图所示:
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | 0.050 | |
第2组 | 35 | 0.350 | |
第3组 | 10 | 0.100 | |
第4组 | 20 | 0.200 | |
第5组 | 30 | 0.300 | |
合计 | 100 | 1.00 |
(1)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?
(2)在(1)的前提下,高校决定在这6名学生中,随机抽取2名学生接受A考官进行面试,求第4组至少有一名学生被A考官测试的概率.
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【题目】在平面直角坐标系中,设点,,(其中表示a、b中的较大数)为、两点的“切比雪夫距离”.
(1)若,Q为直线上动点,求P、Q两点“切比雪夫距离”的最小值;
(2)定点,动点满足,请求出P点所在的曲线所围成图形的面积.
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【题目】在数列{an}中,已知,且2an+1=an+1(n∈N*).
(1)求证:数列{an-1}是等比数列;
(2)若bn=nan,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知如图,长方体中,,,点,,分别为,, 的中点,过点的平面与平面平行,且与长方体的面相交,交线围成一个几何图形.
(1)在图中画出这个几何图形,并求这个几何图形的面积(画图说出作法,不用说明理由);
(2)求证:平面.
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【题目】乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用局胜制(即先胜局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同.
(1)求甲以比获胜的概率;
(2)求乙获胜且比赛局数多于局的概率;
(3)求比赛局数的分布列,并求.
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