Question

10£®ÒÑÖªÍÖÔ²C£º$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1£¨a£¾b£¾0£©$µÄÒ»¸ö½¹µãÓë¶ÌÖáµÄÁ½¸ö¶ËµãµÄÁ¬Ïß¹¹³ÉµÈ±ßÈý½ÇÐΣ¬Ö±Ïßx+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0ÓëÒÔÍÖÔ²CµÄÓÒ½¹µãFΪԲÐÄ£¬ÒÔÍÖÔ²µÄ¶Ì°ëÖ᳤Ϊ°ë¾¶µÄÔ²ÏàÇÐ
£¨1£©ÇóÍÖÔ²CµÄ·½³Ì£»
£¨2£©¹ý¶¨µãD£¨0£¬2£©£¬ÇÒбÂÊΪkµÄÖ±ÏßlÓëÍÖÔ²CÏ൱ÓÚM¡¢NÁ½µã
¢ÙÈôÏ߶ÎMNµÄÖеãµÄºá×ø±êΪ1£¬ÇóÖ±ÏßlµÄ·½³Ì£»
¢ÚÈôµãFÔÚÒÔMNΪֱ¾¶µÄÔ²ÄÚ²¿£¬ÇóʵÊýkµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÓÉÌâÒâÖª£¬Ô²µÄ·½³ÌΪ£¨x-c£©²+y²=b²£¬c=$\sqrt{3}$b£¬Ô²Ðĵ½Ö±Ïßx+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0µÄ¾àÀë$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b£¬Çó³ö¼¸ºÎÁ¿£¬¼´¿ÉÇóÍÖÔ²CµÄ·½³Ì£»
£¨2£©¢ÙÉèÖ±ÏßlµÄ·½³ÌΪy=kx+2£¬´úÈëÍÖÔ²·½³Ì£¬ÀûÓÃΤ´ï¶¨Àí£¬½áºÏÏ߶ÎMNµÄÖеãµÄºá×ø±êΪ1£¬Çó³ök£¬¼´¿ÉÇóÖ±ÏßlµÄ·½³Ì£»
¢ÚÈôµãFÔÚÒÔMNΪֱ¾¶µÄÔ²ÄÚ²¿£¬$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}£¼0$£¬¼´¿ÉÇóʵÊýkµÄÈ¡Öµ·¶Î§£®

½â´ð ½â£º£¨1£©ÓÉÌâÒâÖª£¬Ô²µÄ·½³ÌΪ£¨x-c£©²+y²=b²£¬c=$\sqrt{3}$b£¬
¡àÔ²Ðĵ½Ö±Ïßx+$\sqrt{2}$y-2$\sqrt{3}$=0µÄ¾àÀë$\frac{|c-2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}}$=b£¬
¡àb=1£¬c=$\sqrt{3}$£¬
¡àa=2£¬
¡àÍÖÔ²CµÄ·½³Ì$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1£»
£¨2£©ÉèÖ±ÏßlµÄ·½³ÌΪy=kx+2£¬M£¨x₁£¬y₁£©£¬N£¨x₂£¬y₂£©
Ö±Ïß´úÈëÍÖÔ²·½³Ì£¬ÏûÈ¥y¿ÉµÃ£¨1+4k²£©x²+16kx+12=0
¡ß¡÷=£¨16k£©²-4¡Á12¡Á£¨1+4k²£©£¾0£¬¡àk£¼-$\frac{\sqrt{3}}{2}$»òk£¾$\frac{\sqrt{3}}{2}$
x₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$£¬x₁x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$
¢Ù¡ßÏ߶ÎMNµÄÖеãµÄºá×ø±êΪ1£¬
¡àx₁+x₂=-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$=2£¬
¡àk=$\frac{-2¡À\sqrt{3}}{2}$£¬
¡ßk£¼-$\frac{\sqrt{3}}{2}$»òk£¾$\frac{\sqrt{3}}{2}$
¡àk=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$£¬
¡àÖ±ÏßlµÄ·½³Ìy=$\frac{-2+\sqrt{3}}{2}$x+2£»
¢ÚÈôµãFÔÚÒÔMNΪֱ¾¶µÄÔ²ÄÚ²¿£¬Ôò$\overrightarrow{FM}•\overrightarrow{FN}£¼0$£¬
¡à£¨x₁-$\sqrt{3}$£¬y₁£©•£¨x₂-$\sqrt{3}$£¬y₂£©=£¨x₁-$\sqrt{3}$£©£¨x₂-$\sqrt{3}$£©+y₁y₂£¼0
¡ßy₁y₂=£¨kx₁+2£©£¨kx₂+2£©=k²x₁x₂+2k£¨x₁+x₂£©+4£¬
¡à£¨1+k²£©x₁x₂+£¨2k-$\sqrt{3}$£©£¨x₁+x₂£©+7£¼0
¡à£¨1+k²£©$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$+£¨2k-$\sqrt{3}$£©£¨-$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$£©+7£¼0
¡à$\frac{-4\sqrt{3}-\sqrt{10}}{4}$£¼k£¼$\frac{-4\sqrt{3}+\sqrt{10}}{4}$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÍÖÔ²µÄ±ê×¼·½³Ì£¬¿¼²éÖ±ÏßÓëÍÖÔ²µÄλÖùØϵ£¬¿¼²éΤ´ï¶¨ÀíµÄÔËÓ㬿¼²éѧÉúµÄ¼ÆËãÄÜÁ¦£¬ÊôÓÚÖеµÌ⣮